Ora che abbiamo derivato il Lemma di Ito, siamo in grado di derivare l’equazione di Black-Scholes.

Supponiamo di voler valutare un credito contingente europeo vanilla \(C\), su un asset variabile nel tempo \(S\), che maturerà a \(T\). Assumeremo che \(S\) segua un moto browniano geometrico con tasso di crescita medio di \(\mu\) e volatilità \(\sigma\). \(r\) rappresenterà il tasso di interesse privo di rischio a capitalizzazione continua. \(r\), \(\mu\) e \(\sigma\) non sono funzioni del tempo, \(t\) o del prezzo dell’asset \(S\) e quindi sono fissi per la durata dell’opzione.

Poiché il nostro prezzo dell’opzione, \(C\), è una funzione del tempo \(t\) e del prezzo dell’asset \(S\), useremo la notazione \(C = C(S, t)\) per rappresentare il prezzo dell’opzione. Notare che in questa fase stiamo assumendo che \(C\) esista e sia ben definito. In seguito dimostreremo che questa è un’affermazione giustificata.

Il primo passo è utilizzare il Lemma di Ito sulla funzione \(C(S, t)\) per darci un SDE:

\(\begin{eqnarray} dC = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)dS^2 \end{eqnarray}\)

Il prezzo dell’asset è modellato da un moto browniano geometrico, la cui espressione è la seguente. Da notare che \(\mu\) e \(\sigma\) sono costanti, cioè non sono in funzione di \(S\) o \(t\):

\(\begin{eqnarray} dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t) dX(t) \end{eqnarray}\)

Possiamo sostituire questa espressione nel Lemma di Ito per ottenere:

\(\begin{eqnarray} dC = \left(\frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)\right)dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) dX \end{eqnarray}\)

Il fulcro del nostro argomento di derivazione sarà essenzialmente quello di affermare che un portafoglio completamente coperto, eliminati tutti i rischi, crescerà al tasso privo di rischio. Pertanto, dobbiamo determinare come cambia il nostro portafoglio nel tempo. Nello specifico, siamo interessati alla variazione infinitesimale di una combinazione di un’opzione call e una quantità di asset. La quantità sarà indicata con \(\Delta\). Quindi:

\(\begin{eqnarray*} d(C+\Delta S) = \left(\frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t) + \Delta \mu S\right) dt + \Delta S \left(\frac{\partial C}{\partial S}+\Delta\right) dX \end{eqnarray*}\)

Questo ci porta a scegliere \(\Delta\) che eliminerà il termine associato alla casualità. Se impostiamo \(\Delta = -\frac {\partial C} {\partial S} (S, t) \) riceviamo:

\(\begin{eqnarray*} d(C+\Delta S) = \left(\frac{\partial C}{\partial t}(S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)\right)dt \end{eqnarray*}\)

Si noti che abbiamo sorvolato sulla questione di quale sia la derivata di \(\Delta\). Torneremo su questo più tardi.

Questa tecnica è nota come Delta-Hedging e ci fornisce un portafoglio privo di casualità. È così che possiamo applicare l’argomento secondo cui dovrebbe crescere al tasso privo di rischio, altrimenti, come con i nostri argomenti precedenti, avremmo un’opportunità di arbitraggio. Pertanto, il tasso di crescita del nostro portafoglio con copertura delta deve essere uguale al tasso privo di rischio a capitalizzazione continua, \(r\). Possiamo quindi affermare che:

\(\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial t}(S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t) = r\left(C-S\frac{\partial C}{\partial S}\right) \end{eqnarray*}\)

Se riorganizziamo questa equazione e usando la notazione abbreviata per eliminare la dipendenza da \((S, t)\) arriviamo alla famosa equazione di Black-Scholes per il valore della nostra affermazione contingente:

\(\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial t} + rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} – rC = 0 \end{eqnarray*}\)

Sebbene abbiamo derivato l’equazione, non possediamo ancora condizioni sufficienti per fornire una soluzione unica. L’equazione è un’equazione differenziale parziale lineare (PDE) del secondo ordine e senza condizioni al contorno (come una funzione di payoff per la nostra affermazione contingente), non saremo in grado di risolverla.

Una funzione di payoff che possiamo utilizzare è quella di un’opzione call europea coniata a \(K\). Ha una funzione di guadagno alla scadenza, \(T\), di:

\(\begin{eqnarray*} C(S,T)=\max(S-K,0) \end{eqnarray*}\)

Siamo ora in grado di risolvere l’equazione di Black-Scholes.