trading-algoritmico-calcolo-stocastico

Derivazione dell’Equazione di Black-Scholes

Equazione di Black-Scholes

Ora che abbiamo derivato il Lemma di Ito, siamo in grado di derivare l’equazione di Black-Scholes.

Supponiamo di voler valutare un credito contingente europeo vanilla \(C\), su un asset variabile nel tempo \(S\), che maturerà a \(T\). Assumeremo che \(S\) segua un moto browniano geometrico con tasso di crescita medio di \(\mu\) e volatilità \(\sigma\). \(r\) rappresenterà il tasso di interesse privo di rischio a capitalizzazione continua. \(r\), \(\mu\) e \(\sigma\) non sono funzioni del tempo, \(t\) o del prezzo dell’asset \(S\) e quindi sono fissi per la durata dell’opzione.

Poiché il nostro prezzo dell’opzione, \(C\), è una funzione del tempo \(t\) e del prezzo dell’asset \(S\), useremo la notazione \(C = C(S, t)\) per rappresentare il prezzo dell’opzione. Notare che in questa fase stiamo assumendo che \(C\) esista e sia ben definito. In seguito dimostreremo che questa è un’affermazione giustificata.

Il primo passo è utilizzare il Lemma di Ito sulla funzione \(C(S, t)\) per darci un SDE:

\(\begin{eqnarray} dC = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)dS^2 \end{eqnarray}\)

Il prezzo dell’asset è modellato da un moto browniano geometrico, la cui espressione è la seguente. Da notare che \(\mu\) e \(\sigma\) sono costanti, cioè non sono in funzione di \(S\) o \(t\):

\(\begin{eqnarray} dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t) dX(t) \end{eqnarray}\)

Possiamo sostituire questa espressione nel Lemma di Ito per ottenere:

\(\begin{eqnarray} dC = \left(\frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)\right)dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) dX \end{eqnarray}\)

Il fulcro del nostro argomento di derivazione sarà essenzialmente quello di affermare che un portafoglio completamente coperto, eliminati tutti i rischi, crescerà al tasso privo di rischio. Pertanto, dobbiamo determinare come cambia il nostro portafoglio nel tempo. Nello specifico, siamo interessati alla variazione infinitesimale di una combinazione di un’opzione call e una quantità di asset. La quantità sarà indicata con \(\Delta\). Quindi:

\(\begin{eqnarray*} d(C+\Delta S) = \left(\frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t) + \Delta \mu S\right) dt + \Delta S \left(\frac{\partial C}{\partial S}+\Delta\right) dX \end{eqnarray*}\)

Questo ci porta a scegliere \(\Delta\) che eliminerà il termine associato alla casualità. Se impostiamo \(\Delta = -\frac {\partial C} {\partial S} (S, t) \) riceviamo:

\(\begin{eqnarray*} d(C+\Delta S) = \left(\frac{\partial C}{\partial t}(S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)\right)dt \end{eqnarray*}\)

Si noti che abbiamo sorvolato sulla questione di quale sia la derivata di \(\Delta\). Torneremo su questo più tardi.

Questa tecnica è nota come Delta-Hedging e ci fornisce un portafoglio privo di casualità. È così che possiamo applicare l’argomento secondo cui dovrebbe crescere al tasso privo di rischio, altrimenti, come con i nostri argomenti precedenti, avremmo un’opportunità di arbitraggio. Pertanto, il tasso di crescita del nostro portafoglio con copertura delta deve essere uguale al tasso privo di rischio a capitalizzazione continua, \(r\). Possiamo quindi affermare che:

\(\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial t}(S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t) = r\left(C-S\frac{\partial C}{\partial S}\right) \end{eqnarray*}\)

Se riorganizziamo questa equazione e usando la notazione abbreviata per eliminare la dipendenza da \((S, t)\) arriviamo alla famosa equazione di Black-Scholes per il valore della nostra affermazione contingente:

\(\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial t} + rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} – rC = 0 \end{eqnarray*}\)

Sebbene abbiamo derivato l’equazione, non possediamo ancora condizioni sufficienti per fornire una soluzione unica. L’equazione è un’equazione differenziale parziale lineare (PDE) del secondo ordine e senza condizioni al contorno (come una funzione di payoff per la nostra affermazione contingente), non saremo in grado di risolverla.

Una funzione di payoff che possiamo utilizzare è quella di un’opzione call europea coniata a \(K\). Ha una funzione di guadagno alla scadenza, \(T\), di:

\(\begin{eqnarray*} C(S,T)=\max(S-K,0) \end{eqnarray*}\)

Siamo ora in grado di risolvere l’equazione di Black-Scholes.

Gli altri articoli di questa serie

Benvenuto su DataTrading!

Sono Gianluca, ingegnere software e data scientist. Sono appassionato di coding, finanza e trading. Leggi la mia storia.

Ho creato DataTrading per aiutare le altre persone ad utilizzare nuovi approcci e nuovi strumenti, ed applicarli correttamente al mondo del trading.

DataTrading vuole essere un punto di ritrovo per scambiare esperienze, opinioni ed idee.

SCRIVIMI SU TELEGRAM

Per informazioni, suggerimenti, collaborazioni...

Scroll to Top