Ora che abbiamo definito il moto browniano, possiamo utilizzarlo come elemento base per iniziare a costruire equazioni differenziali stocastiche (SDE). Abbiamo bisogno delle SDE per descrivere come si comportano le funzioni \(f=f(S)\) e le loro derivate rispetto a \(S\), dove \(S\) è il prezzo di un titolo azionario  determinato da un moto browniano.

Alcune delle regole del calcolo ordinario non funzionano come previsto in un mondo stocastico. Dobbiamo modificarli per tenere conto sia del comportamento casuale del moto browniano sia della sua natura non differenziabile. Inizieremo discutendo degli integrali stocastici, che ci condurranno in modo naturale al concetto delle SDE.

Definizione (integrale stocastico)
Un integrale stocastico della funzione \(f = f(t)\) è una funzione \(W = W(t)\), \( t \in[0, T] \) data da:

\(\begin{eqnarray*} W(t) = \int^t_0 f(s) dB(s) = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^N f(t_{k-1})\left(B(t_k)-B(t_{k-1})\right) \end{eqnarray*}\)

dove \(t_k = \frac{kt}{N}\).

Da notare che la funzione \(f\) non è anticipante, nel senso che indipendente dalla storia futura del processo di Wiener,  Ciò significa che non ha informazioni sui valori della variabile casuale in \(X(t_k)\). Supponendo che \(f\) rappresentasse un’allocazione di portafoglio basata su \(B\), se non fosse valutata a \(t_{k-1}\), ma piuttosto a \(t_k\), saremmo in grado di anticipare il futuro e modificare il portafoglio di conseguenza.

L’espressione precedente per \(W(t)\) è un’espressione integrale e quindi è ben definita per una variabile non differenziabile, \(B(t)\), a causa della proprietà di finitezza, nonché della media e della varianza scelte. Tuttavia, desideriamo poterlo scrivere in forma differenziale

\(\begin{eqnarray*} dW = f(t)dB \end{eqnarray*}\)

Va sottolineato che questa è una notazione abbreviata per la forma integrale. Infatti, per dividere \(dB\) sarebbe necessaria la definizione di \(\frac{dW} {dB}\) – un operatore differenziale su una funzione non regolare \(W\).

Si può considerare il termine \(dB\) come una variabile casuale distribuita normalmente con media zero e varianza \(dt\).
La definizione formale è la seguente:

Definizione (equazione differenziale stocastica)
Sia \(B(t)\) un moto browniano. Se \(W(t)\) è una sequenza di variabili casuali, tale che per tutti i \(t\),

\(\begin{eqnarray*} W(t+\delta t)-W(t)-\delta t \mu (t, W(t)) – \sigma(t, B(t)) (B(t+\delta t)-B(t)) \end{eqnarray*}\)

è una variabile casuale con media e varianza che sono \(o(\delta t)\), quindi:

\(\begin{eqnarray*} d W = \mu(t, W(t)) dt + \sigma(t, W(t)) dB \end{eqnarray*}\)

è un’equazione differenziale stocastica per \(W(t)\).

Quindi una data sequenza di variabili casuali, da quanto sopra, è chiamata processo di diffusione di deriva Ito , o semplicemente processo Ito o processo stocastico .

Si può vedere che \(\mu\) e \(\sigma\) sono entrambe funzioni di \(t\) e \(W\). \(\mu\) ha l’interpretazione di un coefficiente di deriva non stocastico , mentre \(\sigma\) rappresenta il coefficiente di volatilità – è moltiplicato per il termine \(dB\) stocastico. Quindi, le equazioni differenziali stocastiche hanno sia una componente non stocastica che una componente stocastica.

Nel prossimo articolo sul moto browniano geometrico , verrà utilizzata un’equazione differenziale stocastica per modellare i movimenti dei prezzi degli asset.