l Lemma di Ito è una componente chiave nell’Ito Calculus, utilizzato per determinare la derivata di una funzione dipendente dal tempo di un processo stocastico. Svolge il ruolo della regola della catena in un contesto stocastico, analogo alla regola della catena nel calcolo differenziale ordinario. Il Lemma di Ito è una pietra angolare della finanza quantitativa ed è intrinseco alla derivazione dell’equazione di Black-Scholes per i prezzi dei crediti contingenti (opzioni).

È necessario comprendere i concetti di moto browniano , equazioni differenziali stocastiche e moto browniano geometrico prima di procedere.

La regola della catena

Uno degli strumenti fondamentali del calcolo ordinario è la regola della catena. Consente il calcolo della derivata della composizione funzionale concatenata. Formalmente, se \(W(t)\) è una funzione continua e:

\(\begin{eqnarray*} d W(t) = \mu (W(t),t) dt \end{eqnarray*}\)

Quindi la regola della catena afferma:

\(\begin{eqnarray*} d(f(W(t))) = f'(W(t)) \mu (W(t), t) dt \end{eqnarray*}\)

Quando \(f\) ha anche \(t\) come diretto parametro dipendente, sono necessari termini aggiuntivi e derivate parziali. In questo caso, la regola della catena è data da:

\(\begin{eqnarray*} d(f(W(t),t)) = \left(\frac{\partial f}{\partial w}(W(t),t) \mu(W(t), t) + \frac{\partial f}{\partial t}(W(t),t)\right) dt \end{eqnarray*}\)

Al fine di modellare correttamente una distribuzione del prezzo di un’attività in modo log-normale, verrà utilizzata una versione stocastica della regola della catena per risolvere un’equazione differenziale stocastica che rappresenta il moto browniano geometrico.

Il compito principale è ora quello di estendere correttamente la versione di calcolo ordinario della regola della catena per essere in grado di far fronte a variabili casuali.

Lemma di Ito

Teorema (Lemma di Ito)

Sia \(B(t)\) un moto browniano e \(W(t)\) un processo Ito di diffusione di deriva che soddisfa l’equazione differenziale stocastica:

\(\begin{eqnarray*} dW(t) = \mu(W(t),t)dt + \sigma(W(t),t)dB(t) \end{eqnarray*}\)

Se \(f(w, t) \in C^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})\) allora \(f(W(t), t)\) è anche un processo  di diffusione della deriva di Ito, con il suo differenziale dato da:

\(\begin{eqnarray*} d(f(W(t),t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(W(t),t)dt + f'(W(t),t)dW + \frac{1}{2}f”(W(t),t)dW(t)^2 \end{eqnarray*}\)

Con \(dW(t)^2\) dato da: \(dt ^ 2 = 0\), \(dt dB (t) = 0 \) e \( dB (t) ^ 2 = dt \).

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