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Introduzione al Calcolo Stocastico

Il calcolo stocastico è l’area della matematica che si occupa dei processi contenenti una componente stocastica e consente quindi la modellazione di sistemi casuali. Molti processi stocastici si basano su funzioni continue, ma in non differenziabili in nessun punto. Quindi si esclude le equazioni differenziali che richiedono l’uso di termini derivati, poiché non possono essere definiti su funzioni non uniformi. Invece, è necessaria una teoria dell’integrazione dove le equazioni integrali non necessitano della diretta definizione in termini derivativi. Nella finanza quantitativa, la teoria è nota come Ito Calculus .

L’uso principale del calcolo stocastico in finanza è attraverso la modellazione del movimento casuale del prezzo di un’attività nel modello di Black-Scholes. Il processo fisico del moto browniano (in particolare, un moto browniano geometrico ) viene utilizzato come modello dei prezzi degli asset, tramite il processo Weiner . Questo processo è rappresentato da un’equazione differenziale stocastica , che nonostante il suo nome, è in realtà un’equazione integrale.

Il modello binomiale


Il modello binomiale fornisce un mezzo per derivare l’equazione di Black-Scholes. Uno strumento fondamentale di calcolo stocastico, noto come Lemma di Ito, permette di derivazione alternativa dell’equazione. Il Lemma di Ito è l’analogo stocastico della regola della catena nel calcolo ordinario. La differenza fondamentale tra il calcolo stocastico e il calcolo ordinario è che il calcolo stocastico consente alla derivata di avere una componente casuale determinata da un moto browniano. La derivata di una variabile casuale ha sia una componente deterministica che una componente casuale, che ha una distribuzione normale.

Negli articoli successivi utilizzeremo la teoria del calcolo stocastico per derivare la formula di Black-Scholes. Per questo dobbiamo presumere che il prezzo del nostro asset non sarà mai negativo. Un asset come un titolo azionario ha sempre questa proprietà. In questo caso un moto browniano standard non può essere utilizzato come modello qui, poiché esiste una probabilità diversa da zero che il prezzo diventi negativo. Viene invece utilizzato un moto browniano geometrico, dove il logaritmo del prezzo delle azioni ha un comportamento stocastico.

Si crea un’equazione differenziale stocastica per il movimento del prezzo di un asset e la si risolve per ricavare il percorso del prezzo dell’asset. Al fine di valutare il nostro credito contingente, noteremo che il prezzo del credito dipende dal prezzo dell’attività e che mediante una costruzione intelligente di un portafoglio di crediti e beni, elimineremo le componenti stocastiche mediante la cancellazione. Possiamo quindi finalmente utilizzare un argomento senza arbitraggio per valutare un’opzione call europea tramite l’equazione derivata di Black-Scholes.

Sommario

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