Per definire formalmente il concetto di moto browniano e utilizzarlo come base per un modello dei prezzi degli asset, è necessario definire le proprietà di Markov e di Martingale. Queste forniscono un’intuizione su come si comporterà il prezzo di un asset nel tempo.
La proprietà di Markov afferma essenzialmente che un processo stocastico “non ha memoria”, cioè la distribuzione di probabilità condizionata degli stati futuri del processo è indipendente da qualsiasi stato precedente, ad eccezione dello stato corrente. La proprietà di Martingale afferma che l’aspettativa futura di un processo stocastico è uguale al valore corrente, date tutte le informazioni note sugli eventi precedenti.
Entrambe queste proprietà sono estremamente importanti nella modellazione dei movimenti dei prezzi degli asset.
La proprietà di Markov
Un modo sensato per introdurre la proprietà di Markov è attraverso una sequenza di variabili casuali \(Z_i\), che può assumere uno dei due valori dell’insieme \(\{1, -1 \}\). Questo è noto come lancio di una moneta. Possiamo calcolare le aspettative di \(Z_i\):
\(\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Z_i) = 0, \mathbb{E}(Z_i^2) = 1, \mathbb{E}(Z_i Z_k) = 0 \end{eqnarray*}\)
Il punto chiave è che l’ aspettativa di \(Z_i\) non ha alcuna dipendenza da alcun valore precedente all’interno della sequenza . Prendiamo le somme parziali delle nostre variabili casuali all’interno del lancio della moneta, che indicheremo con \(S_i\):
\(\begin{eqnarray*} S_i = \sum^i_{k=1} Z_i \end{eqnarray*}\)
Possiamo ora calcolare le aspettative delle nostre somme parziali, utilizzando la linearità dell’operatore aspettativa:
\(\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(S_i) = 0, \mathbb{E}(S_i^2)= \mathbb{E}(Z_1^2 + 2 Z_1 Z_2 + …) = i \end{eqnarray*}\)
Vediamo che, ancora una volta, non c’è dipendenza dall’aspettativa di \(S_i\) con qualsiasi valore precedente all’interno della sequenza di somme parziali. Possiamo estenderlo per discutere l’ aspettativa condizionale . L’aspettativa condizionata è l’aspettativa di una variabile casuale rispetto a una certa distribuzione di probabilità condizionata. Quindi, possiamo chiedere che se \(i = 4\) (cioè eseguiamo quattro lanci di monete), cosa significa questo per l’aspettativa di \(S_5\)?
\(\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(S_5 | Z_1, Z_2, Z_3 , Z_4) = S_4 \end{eqnarray*}\)
Cioè, il valore atteso di \(S_i\) dipende solo dal valore precedente \(S_{i-1}\), non da alcun valore precedente a quello. Questo è noto come proprietà di Markov. In sostanza, non c’è memoria di eventi passati oltre il punto in cui si trova attualmente la nostra variabile all’interno della sequenza. Quasi tutti i modelli finanziari discussi in questi articoli possederanno la proprietà di Markov.
La proprietà di Martingale
Una proprietà aggiuntiva che vale per la nostra sequenza di somme parziali è la proprietà di Martingale. Questa proprietà afferma che l’aspettativa condizionale della sequenza di somme parziali, \(S_i\) è semplicemente il valore corrente:
\(\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(S_i | S_k, k<i) = S_k \end{eqnarray*}\)
In sostanza, la proprietà martingala garantisce che in un “gioco leale”, la conoscenza del passato non sarà di alcuna utilità per prevedere le vincite future.
Queste proprietà saranno di fondamentale importanza per la definizione del moto browniano, che verrà successivamente utilizzato come modello per un percorso dei prezzi degli asset.
