La gestione del rischio e il money management sono temi assolutamente critici nel trading quantitativo. E’ quindi necessario approfondire questi concetti in modo dettagliato, oltre a indicare le diverse fonti di rischio che potrebbero influire sul rendimento della strategia. In questo articolo considereremo un metodo quantitativo per la gestione del proprio capitale al fine di massimizzare la crescita del conto a lungo termine e limitare il rischio drawdown.

Obiettivi dell'investitore

Potrebbe sembrare che l’unico obiettivo dell’investitore sia semplicemente “fare più soldi possibile”. Tuttavia, la realtà del trading a lungo termine è più complessa. Poiché gli operatori di mercato hanno diverse preferenze e vincoli di rischio, esistono diversi obiettivi che gli investitori possono perseguire.

Molti trader retail hanno come unico obiettivo l’aumentare più possibile il patrimonio, con poca o nessuna considerazione relativamente al “rischio” di una strategia. Un investitore retail più attento misurerebbe i drawdown, e potrebbe quindi essere in grado di sopportare un calo del proprio capitale proprio (diciamo il 50%) se fosse consapevole che è ottimale, nel senso del tasso di crescita, a lungo termine.

Un investitore istituzionale avrebbe un approccio al rischio molto diverso. Prevedono la possibilità di avere un inevitabile drawdown massimo (diciamo il 20%) e prendono in considerazione l’allocazione settoriale e i limiti medi di volume giornaliero, che sono vincoli aggiuntivi sulla “ottimizzazione” del processo di attribuzione del capitale alle strategie. Questi fattori potrebbero persino essere più importanti della massimizzazione del tasso di crescita a lungo termine del portafoglio.

Quindi è fondamentale trovare un equilibrio tra la massimizzazione del tasso di crescita a lungo termine tramite la leva finanziaria e la riduzione al minimo del “rischio” cercando di limitare la durata e l’estensione del drawdown. Il principale strumento che ci aiuta a raggiungere questo obiettivo è chiamato Kelly Criterion.

Il Criterio di Kelly

All’interno di questo articolo, il Kelly Criterion sarà il nostro strumento per controllare la leva e l’allocazione del capitale in un insieme di strategie di trading algoritmico che costituiscono un portafoglio multi-strategia. Si definisce leverage, o leva finanziaria, come il rapporto tra la dimensione di un portafoglio e il valore del proprio capitale all’interno di quel portafoglio. Per chiarire questo concetto possiamo utilizzare l’analogia dell’acquisto di una casa con un mutuo. Il tuo acconto (o deposito) costituisce il tuo patrimonio o capitale netto, mentre l’acconto più il valore del mutuo costituisce l’equivalente delle dimensioni di un portafoglio. Pertanto un acconto di 50.000 USD su una casa da 200.000 USD (con un mutuo di 150.000 USD) costituisce una leva di (1500.000 + 50000) / 50000 = 4. Quindi in questo caso si avrebbe avuto una leva pari a 4x sulla casa. Un conto a margine di portafoglio si comporta allo stesso modo. Esiste una componente “cash” e una componente di stock presi in prestito a margine, tramite la leva. Prima di descrivere il criterio di Kelly, è necessario  delineare le ipotesi da cui deriva tale criterio, con diversi gradi di accuratezza:
  • Si presume che ogni strategia di trading algoritmico possieda un flusso di profitti  normalmente distribuito (cioè gaussiano). Inoltre, ogni strategia ha una propria media e deviazione standard dei rendimenti. La formula presuppone che questi valori non cambino, vale a dire che sono gli stessi sia nel passato come nel futuro. Questo chiaramente non è il caso della maggior parte delle strategie, quindi bisogna essere consapevole di questa ipotesi.
  • I rendimenti che si considerano sono i ritorni in eccesso, il che significa che sono al netto di tutti i costi di finanziamento come gli interessi pagati sul margine e i costi di transazione. Se la strategia viene svolta in un contesto istituzionale, ciò significa che i rendimenti sono al netto delle commissioni di gestione e di rendimento.
  • Tutti i profitti del trading vengono reinvestiti e non vengono effettuati prelievi di capitale. Ciò non è chiaramente applicabile in un contesto istituzionale in cui le suddette commissioni di gestione sono prelevate e gli investitori spesso effettuano prelievi.
  • Tutte le strategie sono statisticamente indipendenti (non esiste alcuna correlazione tra le strategie) e quindi la matrice di covarianza tra i ritorni della strategia è diagonale.
Queste ipotesi non sono particolarmente accurate e vedremo come migliorarle in successivi articoli. Veniamo ora alla definizione del criterio di Kelly! Immaginiamo di avere un insieme di N strategie di trading algoritmico e vogliamo determinare come applicare la leva ottimale per ogni strategia al fine di massimizzare il tasso di crescita (ma ridurre al minimo i drawdown) e come allocare il capitale tra ogni strategia. Se consideriamo l’allocazione tra ogni strategia \(i\) come vettore \(f\) di lunghezza \(N\), s.t. \(f = (f_1, …, f_N)\), quindi il criterio di Kelly per l’allocazione ottimale \(fi\) a ciascuna strategia è ricavata come:

\(\begin{eqnarray} f_i = \mu_i / \sigma^2_i \end{eqnarray}\)

Dove \(μi\) sono i ritorni in eccesso medi e \(σi\) sono la deviazione standard dei ritorni in eccesso, per la strategia \(i\). Questa formula descrive essenzialmente la leva ottimale che dovrebbe essere applicata a ciascuna strategia. Mentre il criterio di Kelly ci fornisce la leva ottimale e l’allocazione strategica, dobbiamo ancora calcolare il tasso di crescita a lungo termine previsto per il portafoglio, che indichiamo per \(g\). La formula per ricavarlo è:

\(\begin{eqnarray} g = r + S^2 / 2 \end{eqnarray}\)

Dove \(r\) è il tasso di interesse privo di rischio, che è il tasso al quale puoi prendere a prestito dal broker, e \(S\) è il Sharpe Ratio annualizzato della strategia. Quest’ultimo è calcolato tramite i rendimenti in eccesso medi annui divisi per le deviazioni standard annualizzate dei rendimenti in eccesso. Vedi questo articolo per maggiori dettagli.

Un esempio realistico

Consideriamo un esempio con una singola strategia (i = 1). Supponiamo di andare longo su un ipotetico titolo XYZ con un rendimento medio annuo di \(m = 10,7%\) e una deviazione standard annuale di \(σ = 12,4%\). Supponiamo inoltre di poter prendere un prestito a un tasso di interesse privo di rischio di \(r = 3,0%\). Quindi i ritorni in eccesso medi sono \(μ = m-r = 10,7-3,0 = 7,7%\). Questo ci dà un Sharpe Ratio pari a \(S = 0.077 / 0.124 = 0.62\).

In questo modo possiamo calcolare l’effetto leva ottimale di Kelly come \(f = μ / σ2 = 0,077 / 0,1242 = 5,01\). Quindi la leva di Kelly ci dice che per un portafoglio da 100.000 USD dovremmo prendere in prestito un ulteriore 401.000 USD per avere un valore di portafoglio totale di 501.000 USD. In pratica è improbabile che il nostro broker ci permetta di operare con un margine così elevato e quindi il Criterio di Kelly dovrebbe essere adeguato.

Possiamo quindi utilizzare il Sharpe Ratio S e il tasso di interesse r per calcolare \(g\), il tasso di crescita atteso a lungo termine è pari a \(g = r + S2 / 2 = 0,03 + 0,622 / 2 = 0,22\), cioè 22%. Quindi dovremmo aspettarci un ritorno del 22% all’anno da questa strategia.

Il Criterio di Kelly in pratica

È importante essere consapevoli che il Criterio di Kelly richiede un continuo ribilanciamento del capitale a disposizione per rimanere valido. Chiaramente questo non è possibile nell’impostazione del trading reale e quindi deve essere fatta un’approssimazione. La “regola generale” standard qui è di aggiornare l’allocazione di Kelly una volta al giorno. Inoltre, lo stesso Criterio di Kelly dovrebbe essere ricalcolato periodicamente, utilizzando una media e una deviazione standard in una finestra temporale. Ancora una volta, per una strategia che effettua all’incirca un’operazione al giorno, questa soglia dovrebbe essere impostata su un ordine di 3-6 mesi di rendimenti giornalieri.

Ecco un esempio di riequilibrio di un portafoglio sotto il Kelly Criterion, che può portare ad alcuni comportamenti contro-intuitivi. Supponiamo di avere la strategia sopra descritta. Abbiamo utilizzato il Kelly Criterion per prendere in prestito denaro per dimensionare il nostro portafoglio a 501.000 USD. Supponiamo di effettuare un sano guadagno del 5% il giorno successivo, il che aumenta le dimensioni dell’account a 526.050 USD. Il Kelly Criterion ci dice che dovremmo indebitarci di più per mantenere lo stesso fattore di leva di 5,01. In particolare, il nostro patrimonio netto è di 126.050 USD su un portafoglio di 526.050, il che significa che l’attuale fattore di leva è 4.17. Per aumentarlo a 5.01, dobbiamo prendere in prestito ulteriori 105.460 USD per aumentare le dimensioni del nostro account a 631.510,5 USD (questo è 5.01 × 126050).

Ora ipotiziamo che il giorno seguente perdiamo il 10% del nostro portafoglio (ahi!). Ciò significa che la dimensione totale del portafoglio ora è 568.359,45 USD (631510,5 × 0,9). Il nostro capitale totale è ora di 62.898.95 USD (126050-631510.45 × 0.1). Ciò significa che l’attuale fattore di leva è 568359.45 / 62898.95 = 9.03. Quindi abbiamo bisogno di ridurre il nostro conto vendendo 253,235,71 USD di azioni al fine di ridurre il nostro valore totale del portafoglio a 315,123,73 USD, in modo tale da avere nuovamente una leva di 5,01 (315123,73 / 62898,95 = 5,01).

Quindi abbiamo acquistato un profitto e venduto in perdita. Questo processo di vendita in perdita può essere emotivamente molto difficile, ma è matematicamente la cosa “corretta” da fare, supponendo che le ipotesi di Kelly siano state soddisfatte! È l’approccio da seguire per massimizzare il tasso di crescita nel lungo termine.

Potresti aver notato che i valori assoluti di denaro che venivano riallocati tra i giorni erano piuttosto elevati. Questa è una conseguenza sia della natura artificiale dell’esempio che dell’estesa leva utilizzata. La perdita del 10% in un giorno non è particolarmente comune nella trading algoritmico ad alta frequenza, ma serve a mostrare quanto può essere estesa la leva finanziaria in termini assoluti.

Poiché la stima delle medie e delle deviazioni standard sono sempre soggette ad errori, in pratica molti trader tendono a utilizzare un regime di leva più conservativo come il Criterio di Kelly diviso per due, affettuosamente chiamato il “mezzo-Kelly”. Il Criterio di Kelly dovrebbe essere considerato come un limite superiore della leva da usare, piuttosto che una specifica diretta. Se questo consiglio non viene ascoltato, l’uso del valore diretto di Kelly può portare alla rovina (cioè la liquidazione del conto) a causa della natura non gaussiana dei rendimenti della strategia.

Dovremmo usare il criterio di Kelly

Ogni trader algoritmico è diverso e lo stesso vale per le preferenze sulla gestione del rischio. Quando si sceglie di utilizzare una strategia di leva finanziaria (di cui il Criterio di Kellyè un esempio) è necessario considerare i requisiti di rischio sotto i quali è necessario operare. In un ambiente di trading retail è possibile impostare i propri limiti massimi di drawdown e quindi è possibile incrementare la leva. In un contesto istituzionale se deve considerare il rischio da una prospettiva molto diversa e il fattore leva sarà una componente di un quadro molto più ampio, di solito insieme a molti altri vincoli.

Negli articoli successivi considereremo altre forme di gestione del denaro (e del rischio!), Alcune delle quali possono semplificare i vincoli aggiuntivi discussi in precedenza.

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