Abbiamo già descritto la logica per il calcolo stocastico per quanto riguarda la finanza quantitativa. Sono inoltre state definite le proprietà di Markov e di Martingale. In entrambi gli articoli è stato affermato che il moto browniano avrebbe fornito un modello per il percorso del prezzo di un asset nel tempo. In questo articolo verrà definito formalmente il moto browniano e verrà spiegato il suo analogo matematico, il processo di Wiener. Verrà dimostrato che un movimento browniano standard è insufficiente per i movimenti dei prezzi degli asset e che è necessario un movimento browniano geometrico.

Nella discussione precedente sulle proprietà Markov e Martingala, è stato effettuato un esperimento discreto del lancio della moneta, con un numero arbitrario di fasi temporali. L’obiettivo attuale è lavorare verso una random walk a tempo continuo, che fornirà un modello più sofisticato per il prezzo degli asset, che è variabile nel tempo. Per ottenere ciò, sarà necessario aumentare il numero di fasi temporali. Tuttavia, l’aumento di questo numero deve avvenire in un modo specifico, in modo da evitare un risultato senza senso (infinito).

Si considera un intervallo di tempo reale continuo \([0, T]\), con \(T> 0\). In questo intervallo verranno effettuati \(N\) lanci di monete, ciascuno dei quali richiede un tempo \(T / N\) e quindi sono equidistanti. Allo stesso tempo, il risultato restituito da ogni lancio di moneta verrà modificato. La sequenza di variabili casuali discrete che rappresentano il lancio della moneta è \( Z_i \in \{- 1,1\}\). È possibile definire un’ulteriore sequenza di variabili casuali discrete, \(\tilde {Z} _i \in \{\sqrt{T / N}, – \sqrt{T / N} \} \). La definizione di una tale sequenza di DRV viene utilizzata per fornire una variazione quadratica molto specifica del lancio della moneta.

La variazione quadratica di una sequenza di DRV è definita semplicemente come la somma delle differenze al quadrato dei termini attuali e precedenti:

\(\begin{eqnarray*} \sum^i_{k=1}\left(S_k-S_{k-1}\right)^2 \end{eqnarray*}\)

Per \(Z_i\), la precedente sequenza di variabili casuali di lancio della moneta, la variazione quadratica è data da:

\(\begin{eqnarray*} \sum^i_{k=1}\left(S_k-S_{k-1}\right)^2 = i \end{eqnarray*}\)

Per \(\tilde {Z} _i\), la variazione quadratica delle somme parziali \(\tilde {S}_i\) è:

\(\begin{eqnarray*} \sum^N_{k=1}\left(\tilde{S}_k-\tilde{S}_{k-1}\right)^2 = N \times \left(\sqrt{\frac{T}{N}}\right)^2 = T \end{eqnarray*}\)

Quindi, per costruzione, la variazione quadratica del lancio modificato della moneta \(\tilde{Z}_i\) è semplicemente la durata totale di tutti i lanci, \(T\).

È importante notare che entrambe le proprietà di Markov e di Martingale vengono mantenute da \( \tilde{Z}_i\). Poiché \(N\rightarrow \infty\), la random walk del lancio della moneta non diverge. Se il valore dell’asset al tempo \(t\), con \(t\in[0, T]\), è dato da \(S(t)\), allora la sua aspettativa condizionale alla fine dell’intervallo, dato che \(S(0) = 0 \), è \(\mathbb{E}(S(T))=0\) con una varianza di \(\mathbb{E}(S(T)^2) = T\).

Sebbene i dettagli tecnici non saranno discussi, poiché il numero di passaggi \( N \) diventa infinito, si ottiene il processo di Wiener, più comunemente chiamato moto browniano standard , che sarà indicato con \(B (t)\). Formalmente, la definizione è data da:

Definizione (processo di Wiener / moto browniano standard)
Una sequenza di variabili casuali \(B(t)\) è un moto browniano se \(B(0) = 0\), e per tutti i \( t, s \) tali che \( s <t\), \(B(t) – B(s)\) è normalmente distribuito con varianza \(ts\)  e la distribuzione di \(B(t) – B(s)\) è indipendente da \(B(r)\) per \( r \leq s \) .

Proprietà del moto browniano

Il moto browniano standard ha alcune proprietà interessanti. In particolare:

  • I moti browniani sono finiti . La costruzione di \(\tilde{Z}_i\) è stata scelta con cura in modo che nel limite di \(N\) grande, \(B\) sia finito che diverso da zero.
  • I moti browniani hanno variazioni illimitate . Ciò significa che se il segno di tutti i gradienti negativi fosse cambiato in positivo, \(B\) raggiungerebbe l’infinito in un periodo di tempo arbitrariamente breve.
  • I moti browniani sono continui . Sebbene i moti browniani siano continui ovunque, non sono differenziabili da nessuna parte. Essenzialmente questo significa che un moto browniano ha una geometria frattale. Ciò ha importanti implicazioni per quanto riguarda la scelta dei metodi di calcolo quando i moti browniani devono essere manipolati.
  • I moti browniani soddisfano sia le proprietà di Markov che di Martingala. La distribuzione condizionale di \(B(t)\), data l’informazione fino a \(s<t\) dipende solo da \(B(s)\) e, data informazione fino a \(s<t\), l’aspettativa condizionale di \(B(t)\) è \(B(s)\).
  • I moti browniani sono fortemente distribuiti normalmente . Ciò significa che, per \(s<t\), \(s, t \in[0, T]\), \(B(t) – B(s)\) è normalmente distribuita con media zero e varianza \(ts\).

Da notare che l’ultima proprietà NON è la stessa di avere B(t) normalmente distribuito con media zero e varianza t – questa è una proprietà più debole.

I moti browniani sono una componente fondamentale nella costruzione di equazioni differenziali stocastiche , che alla fine consentiranno la derivazione della famosa equazione di Black-Scholes per i prezzi dei crediti contingenti.

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