Il modello usuale per l’evoluzione temporale del prezzo di un asset \(S(t)\) è dato dal moto browniano geometrico, rappresentato dalla seguente equazione differenziale stocastica:

\(\begin{eqnarray*} dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dB(t) \end{eqnarray*}\)

Notare che i coefficienti \(\mu\) e \(\sigma\), che rappresentano rispettivamente la deriva e la volatilità dell’asset, sono entrambi costanti in questo modello. In modelli più sofisticati possono essere fatti per essere funzioni di \(t\), \(S(t)\) e altri processi stocastici.

La soluzione \(S(t)\) può essere trovata applicando il Lemma di Ito all’equazione differenziale stocastica.

Dividendo per \(S(t)\) nell’equazione precedente si ottiene:

\(\begin{eqnarray*} \frac{dS(t)}{S(t)} = \mu dt + \sigma dB(t) \end{eqnarray*}\)

Si noti che il lato sinistro di questa equazione è simile alla derivata di \(\log S (t)\). Applicando il Lemma di Ito a \(\log S(t)\) si ottiene:

\(\begin{eqnarray*} d(log S(t)) = (log S(t))’ \mu S(t) dt + (log S(t))’ \sigma S(t) dB(t) + \frac{1}{2}(log S(t))” \sigma^2 S(t)^2 dt \end{eqnarray*}\)

Questo diventa:

\(\begin{eqnarray*} d(log S(t)) = \mu dt + \sigma dB(t) – \frac{1}{2}\sigma^2 dt = \left(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)dt + \sigma dB(t) \end{eqnarray*}\)

Questo è un processo di Ito di diffusione della deriva. È un moto browniano standard con un termine di deriva. Poiché la formula precedente è semplicemente una scorciatoia per una formula integrale, possiamo scriverla come

\(\begin{eqnarray*} log(S(t)) – log(S(0)) = \left(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)t + \sigma B(t) \end{eqnarray*}\)

Infine, prendendo l’esponenziale di questa equazione si ottiene:

\(\begin{eqnarray*} S(t) = S(0) \exp \left(\left(\mu – \frac{1}{2}\sigma^2\right)t + \sigma B(t)\right) \end{eqnarray*}\)

Questa è la soluzione dell’equazione differenziale stocastica. Infatti è una delle poche soluzioni analitiche ottenibili dalle equazioni differenziali stocastiche.

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