Derivazione dell’Equazione di Black-Scholes

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Ora che abbiamo derivato il Lemma di Ito , siamo in grado di derivare l’equazione di Black-Scholes.

Supponiamo di voler valutare un credito contingente europeo vanilla \(C\), su un asset variabile nel tempo \(S\), che maturerà a \(T\). Assumeremo che \(S\) segua un moto browniano geometrico con tasso di crescita medio di \(\mu\) e volatilità \(\sigma\). \(r\) rappresenterà il tasso di interesse privo di rischio a capitalizzazione continua. \(r\), \(\mu\) e \(\sigma\) non sono funzioni del tempo, \(t\) o del prezzo dell’asset \(S\) e quindi sono fissi per la durata dell’opzione.

Poiché il nostro prezzo dell’opzione, \(C\), è una funzione del tempo \(t\) e del prezzo dell’asset \(S\), useremo la notazione \(C = C(S, t)\) per rappresentare il prezzo dell’opzione. Notare che in questa fase stiamo assumendo che \(C\) esista e sia ben definito. In seguito dimostreremo che questa è un’affermazione giustificata.

Il primo passo è utilizzare il Lemma di Ito sulla funzione \(C(S, t)\) per darci un SDE:

\(\begin{eqnarray} dC = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)dS^2 \end{eqnarray}\)

Il nostro prezzo dell’asset è modellato da un moto browniano geometrico, la cui espressione è qui richiamata. Nota che \(\mu\) e \(\sigma\) sono costanti, cioè non funzioni di \(S\) o \(t\):

\(\begin{eqnarray*} dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t) dX(t) \end{eqnarray*}\)

Possiamo sostituire questa espressione nel Lemma di Ito per ottenere:

\(\begin{eqnarray*} dC = \left(\frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)\right)dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) dX \end{eqnarray*}\)

Il fulcro del nostro argomento di derivazione sarà essenzialmente quello di affermare che un portafoglio completamente coperto, eliminati tutti i rischi, crescerà al tasso privo di rischio. Pertanto, dobbiamo determinare come cambia il nostro portafoglio nel tempo. Nello specifico, siamo interessati alla variazione infinitesimale di una combinazione di un’opzione call e una quantità di asset. La quantità sarà indicata con \(\Delta\). Quindi:

\(\begin{eqnarray*} d(C+\Delta S) = \left(\frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t) + \Delta \mu S\right) dt + \Delta S \left(\frac{\partial C}{\partial S}+\Delta\right) dX \end{eqnarray*}\)

Questo ci porta a scegliere \(\Delta\) che eliminerà il termine associato alla casualità. Se impostiamo \(\Delta = -\frac {\partial C} {\partial S} (S, t) \) riceviamo:

\(\begin{eqnarray*} d(C+\Delta S) = \left(\frac{\partial C}{\partial t}(S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)\right)dt \end{eqnarray*}\)

Si noti che abbiamo sorvolato sulla questione di quale sia la derivata di \(\Delta\). Torneremo su questo più tardi.

Questa tecnica è nota come Delta-Hedging e ci fornisce un portafoglio privo di casualità. È così che possiamo applicare l’argomento secondo cui dovrebbe crescere al tasso privo di rischio, altrimenti, come con i nostri argomenti precedenti, avremmo un’opportunità di arbitraggio. Pertanto, il tasso di crescita del nostro portafoglio con copertura delta deve essere uguale al tasso privo di rischio a capitalizzazione continua, \(r\). Possiamo quindi affermare che:

\(\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial t}(S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t) = r\left(C-S\frac{\partial C}{\partial S}\right) \end{eqnarray*}\)

Se riorganizziamo questa equazione e usando la notazione abbreviata per eliminare la dipendenza da \((S, t)\) arriviamo alla famosa equazione di Black-Scholes per il valore della nostra affermazione contingente:

\(\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial t} + rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} – rC = 0 \end{eqnarray*}\)

Sebbene abbiamo derivato l’equazione, non possediamo ancora condizioni sufficienti per fornire una soluzione unica. L’equazione è un’equazione differenziale parziale lineare (PDE) del secondo ordine e senza condizioni al contorno (come una funzione di payoff per la nostra affermazione contingente), non saremo in grado di risolverla.

Una funzione di payoff che possiamo utilizzare è quella di un’opzione call europea coniata a \(K\). Ha una funzione di guadagno alla scadenza, \(T\), di:

\(\begin{eqnarray*} C(S,T)=\max(S-K,0) \end{eqnarray*}\)

Siamo ora in grado di risolvere l’equazione di Black-Scholes.

Il Lemma di Ito

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l Lemma di Ito è una componente chiave nell’Ito Calculus, utilizzato per determinare la derivata di una funzione dipendente dal tempo di un processo stocastico. Svolge il ruolo della regola della catena in un contesto stocastico, analogo alla regola della catena nel calcolo differenziale ordinario. Il Lemma di Ito è una pietra angolare della finanza quantitativa ed è intrinseco alla derivazione dell’equazione di Black-Scholes per i prezzi dei crediti contingenti (opzioni).

È necessario comprendere i concetti di moto browniano , equazioni differenziali stocastiche e moto browniano geometrico prima di procedere.

La regola della catena

Uno degli strumenti fondamentali del calcolo ordinario è la regola della catena. Consente il calcolo della derivata della composizione funzionale concatenata. Formalmente, se \(W(t)\) è una funzione continua e:

\(\begin{eqnarray*} d W(t) = \mu (W(t),t) dt \end{eqnarray*}\)

Quindi la regola della catena afferma:

\(\begin{eqnarray*} d(f(W(t))) = f'(W(t)) \mu (W(t), t) dt \end{eqnarray*}\)

Quando \(f\) ha anche \(t\) come diretto parametro dipendente, sono necessari termini aggiuntivi e derivate parziali. In questo caso, la regola della catena è data da:

\(\begin{eqnarray*} d(f(W(t),t)) = \left(\frac{\partial f}{\partial w}(W(t),t) \mu(W(t), t) + \frac{\partial f}{\partial t}(W(t),t)\right) dt \end{eqnarray*}\)

Al fine di modellare correttamente una distribuzione del prezzo di un’attività in modo log-normale, verrà utilizzata una versione stocastica della regola della catena per risolvere un’equazione differenziale stocastica che rappresenta il moto browniano geometrico.

Il compito principale è ora quello di estendere correttamente la versione di calcolo ordinario della regola della catena per essere in grado di far fronte a variabili casuali.

Lemma di Ito

Teorema (Lemma di Ito)

Sia \(B(t)\) un moto browniano e \(W(t)\) un processo Ito di diffusione di deriva che soddisfa l’equazione differenziale stocastica:

\(\begin{eqnarray*} dW(t) = \mu(W(t),t)dt + \sigma(W(t),t)dB(t) \end{eqnarray*}\)

Se \(f(w, t) \in C^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})\) allora \(f(W(t), t)\) è anche un processo  di diffusione della deriva di Ito, con il suo differenziale dato da:

\(\begin{eqnarray*} d(f(W(t),t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(W(t),t)dt + f'(W(t),t)dW + \frac{1}{2}f”(W(t),t)dW(t)^2 \end{eqnarray*}\)

Con \(dW(t)^2\) dato da: \(dt ^ 2 = 0\), \(dt dB (t) = 0 \) e \( dB (t) ^ 2 = dt \).

Moto Browniano Geometrico

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Il modello usuale per l’evoluzione temporale del prezzo di un asset \(S(t)\) è dato dal moto browniano geometrico, rappresentato dalla seguente equazione differenziale stocastica:

\(\begin{eqnarray*} dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dB(t) \end{eqnarray*}\)

Notare che i coefficienti \(\mu\) e \(\sigma\), che rappresentano rispettivamente la deriva e la volatilità dell’asset, sono entrambi costanti in questo modello. In modelli più sofisticati possono essere fatti per essere funzioni di \(t\), \(S(t)\) e altri processi stocastici.

La soluzione \(S(t)\) può essere trovata applicando il Lemma di Ito all’equazione differenziale stocastica.

Dividendo per \(S(t)\) nell’equazione precedente si ottiene:

\(\begin{eqnarray*} \frac{dS(t)}{S(t)} = \mu dt + \sigma dB(t) \end{eqnarray*}\)

Si noti che il lato sinistro di questa equazione è simile alla derivata di \(\log S (t)\). Applicando il Lemma di Ito a \(\log S(t)\) si ottiene:

\(\begin{eqnarray*} d(log S(t)) = (log S(t))’ \mu S(t) dt + (log S(t))’ \sigma S(t) dB(t) + \frac{1}{2}(log S(t))” \sigma^2 S(t)^2 dt \end{eqnarray*}\)

Questo diventa:

\(\begin{eqnarray*} d(log S(t)) = \mu dt + \sigma dB(t) – \frac{1}{2}\sigma^2 dt = \left(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)dt + \sigma dB(t) \end{eqnarray*}\)

Questo è un processo di Ito di diffusione della deriva. È un moto browniano standard con un termine di deriva. Poiché la formula precedente è semplicemente una scorciatoia per una formula integrale, possiamo scriverla come

\(\begin{eqnarray*} log(S(t)) – log(S(0)) = \left(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)t + \sigma B(t) \end{eqnarray*}\)

Infine, prendendo l’esponenziale di questa equazione si ottiene:

\(\begin{eqnarray*} S(t) = S(0) \exp \left(\left(\mu – \frac{1}{2}\sigma^2\right)t + \sigma B(t)\right) \end{eqnarray*}\)

Questa è la soluzione dell’equazione differenziale stocastica. Infatti è una delle poche soluzioni analitiche ottenibili dalle equazioni differenziali stocastiche.

Equazioni differenziali stocastiche

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Il precedente articolo sul moto browniano e il processo Wiener ha introdotto il moto browniano standard, come mezzo per modellare i percorsi dei prezzi degli asset. Tuttavia, un moto browniano standard ha una probabilità di essere negativo diversa da zero. Questa non è chiaramente una proprietà condivisa da asset del mondo reale: i prezzi delle azioni non possono essere inferiori a zero. Quindi, sebbene la natura stocastica di un moto browniano per il nostro modello debba essere mantenuta, è necessario regolare esattamente come viene distribuita quella casualità. In particolare, verrà ora introdotto il concetto di moto browniano geometrico (GBM), che risolverà il problema dei prezzi azionari negativi.

Tuttavia, prima di considerare il moto browniano geometrico, è necessario discutere il concetto di equazione differenziale stocastica (SDE). Questo ci permetterà di formulare il GBM e risolverlo per ottenere una funzione per il percorso del prezzo dell’asset.

Equazioni differenziali stocastiche

Ora che abbiamo definito il moto browniano, possiamo utilizzarlo come elemento base per iniziare a costruire equazioni differenziali stocastiche (SDE). Abbiamo bisogno delle SDE per descrivere come si comportano le funzioni \(f=f(S)\) e le loro derivate rispetto a \(S\), dove \(S\) è il prezzo di un titolo azionario  determinato da un moto browniano.

Alcune delle regole del calcolo ordinario non funzionano come previsto in un mondo stocastico. Dobbiamo modificarli per tenere conto sia del comportamento casuale del moto browniano sia della sua natura non differenziabile. Inizieremo discutendo degli integrali stocastici, che ci condurranno in modo naturale al concetto delle SDE.

Definizione (integrale stocastico)
Un integrale stocastico della funzione \(f = f(t)\) è una funzione \(W = W(t)\), \( t \in[0, T] \) data da:

\(\begin{eqnarray*} W(t) = \int^t_0 f(s) dB(s) = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^N f(t_{k-1})\left(B(t_k)-B(t_{k-1})\right) \end{eqnarray*}\)

dove \(t_k = \frac{kt}{N}\).

Da notare che la funzione \(f\) non è anticipante, nel senso che indipendente dalla storia futura del processo di Wiener,  Ciò significa che non ha informazioni sui valori della variabile casuale in \(X(t_k)\). Supponendo che \(f\) rappresentasse un’allocazione di portafoglio basata su \(B\), se non fosse valutata a \(t_{k-1}\), ma piuttosto a \(t_k\), saremmo in grado di anticipare il futuro e modificare il portafoglio di conseguenza.

L’espressione precedente fornita per $ W (t) $ è un’espressione integrale e quindi è ben definita per una variabile non differenziabile, $ B (t) $, a causa della proprietà di finitezza, nonché della media e della varianza scelte. Tuttavia, desideriamo poterlo scrivere in forma differenziale:

\(\begin{eqnarray*} dW = f(t)dB \end{eqnarray*}\)

Va sottolineato che questa è una notazione abbreviata per la forma integrale. Infatti, per dividere \(dB\) sarebbe necessaria la definizione di \(\frac{dW} {dB}\) – un operatore differenziale su una funzione non regolare \(W\).

Si può considerare il termine \(dB\) come una variabile casuale distribuita normalmente con media zero e varianza \(dt\).
La definizione formale è la seguente:

Definizione (equazione differenziale stocastica)
Sia \(B(t)\) un moto browniano. Se \(W(t)\) è una sequenza di variabili casuali, tale che per tutti i \(t\),

\(\begin{eqnarray*} W(t+\delta t)-W(t)-\delta t \mu (t, W(t)) – \sigma(t, B(t)) (B(t+\delta t)-B(t)) \end{eqnarray*}\)

è una variabile casuale con media e varianza che sono \(o(\delta t)\), quindi:

\(\begin{eqnarray*} d W = \mu(t, W(t)) dt + \sigma(t, W(t)) dB \end{eqnarray*}\)

è un’equazione differenziale stocastica per \(W(t)\).

Quindi una data sequenza di variabili casuali, da quanto sopra, è chiamata processo di diffusione di deriva Ito , o semplicemente processo Ito o processo stocastico .

Si può vedere che \(\mu\) e \(\sigma\) sono entrambe funzioni di \(t\) e \(W\). \(\mu\) ha l’interpretazione di un coefficiente di deriva non stocastico , mentre \(\sigma\) rappresenta il coefficiente di volatilità – è moltiplicato per il termine \(dB\) stocastico. Quindi, le equazioni differenziali stocastiche hanno sia una componente non stocastica che una componente stocastica.

Nel prossimo articolo sul moto browniano geometrico , verrà utilizzata un’equazione differenziale stocastica per modellare i movimenti dei prezzi degli asset.

Moto browniano e processo Wiener

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Abbiamo già descritto la logica per il calcolo stocastico per quanto riguarda la finanza quantitativa. Sono inoltre state definite le proprietà di Markov e di Martingale. In entrambi gli articoli è stato affermato che il moto browniano avrebbe fornito un modello per il percorso del prezzo di un asset nel tempo. In questo articolo verrà definito formalmente il moto browniano e verrà spiegato il suo analogo matematico, il processo di Wiener. Verrà dimostrato che un movimento browniano standard è insufficiente per i movimenti dei prezzi degli asset e che è necessario un movimento browniano geometrico.

Nella discussione precedente sulle proprietà Markov e Martingala, è stato effettuato un esperimento discreto del lancio della moneta, con un numero arbitrario di fasi temporali. L’obiettivo attuale è lavorare verso una random walk a tempo continuo, che fornirà un modello più sofisticato per il prezzo degli asset, che è variabile nel tempo. Per ottenere ciò, sarà necessario aumentare il numero di fasi temporali. Tuttavia, l’aumento di questo numero deve avvenire in un modo specifico, in modo da evitare un risultato senza senso (infinito).

Si considera un intervallo di tempo reale continuo \([0, T]\), con \(T> 0\). In questo intervallo verranno effettuati \(N\) lanci di monete, ciascuno dei quali richiede un tempo \(T / N\) e quindi sono equidistanti. Allo stesso tempo, il risultato restituito da ogni lancio di moneta verrà modificato. La sequenza di variabili casuali discrete che rappresentano il lancio della moneta è \( Z_i \in \{- 1,1\}\). È possibile definire un’ulteriore sequenza di variabili casuali discrete, \(\tilde {Z} _i \in \{\sqrt{T / N}, – \sqrt{T / N} \} \). La definizione di una tale sequenza di DRV viene utilizzata per fornire una variazione quadratica molto specifica del lancio della moneta.

La variazione quadratica di una sequenza di DRV è definita semplicemente come la somma delle differenze al quadrato dei termini attuali e precedenti:

\(\begin{eqnarray*} \sum^i_{k=1}\left(S_k-S_{k-1}\right)^2 \end{eqnarray*}\)

Per \(Z_i\), la precedente sequenza di variabili casuali di lancio della moneta, la variazione quadratica è data da:

\(\begin{eqnarray*} \sum^i_{k=1}\left(S_k-S_{k-1}\right)^2 = i \end{eqnarray*}\)

Per \(\tilde {Z} _i\), la variazione quadratica delle somme parziali \(\tilde {S}_i\) è:

\(\begin{eqnarray*} \sum^N_{k=1}\left(\tilde{S}_k-\tilde{S}_{k-1}\right)^2 = N \times \left(\sqrt{\frac{T}{N}}\right)^2 = T \end{eqnarray*}\)

Quindi, per costruzione, la variazione quadratica del lancio modificato della moneta \(\tilde{Z}_i\) è semplicemente la durata totale di tutti i lanci, \(T\).

È importante notare che entrambe le proprietà di Markov e di Martingale vengono mantenute da \( \tilde{Z}_i\). Poiché \(N\rightarrow \infty\), la random walk del lancio della moneta non diverge. Se il valore dell’asset al tempo \(t\), con \(t\in[0, T]\), è dato da \(S(t)\), allora la sua aspettativa condizionale alla fine dell’intervallo, dato che \(S(0) = 0 \), è \(\mathbb{E}(S(T))=0\) con una varianza di \(\mathbb{E}(S(T)^2) = T\).

Sebbene i dettagli tecnici non saranno discussi, poiché il numero di passaggi \( N \) diventa infinito, si ottiene il processo di Wiener, più comunemente chiamato moto browniano standard , che sarà indicato con \(B (t)\). Formalmente, la definizione è data da:

Definizione (processo di Wiener / moto browniano standard)
Una sequenza di variabili casuali \(B(t)\) è un moto browniano se \(B(0) = 0\), e per tutti i \( t, s \) tali che \( s <t\), \(B(t) – B(s)\) è normalmente distribuito con varianza \(ts\)  e la distribuzione di \(B(t) – B(s)\) è indipendente da \(B(r)\) per \( r \leq s \) .

Proprietà del moto browniano

Il moto browniano standard ha alcune proprietà interessanti. In particolare:

  • I moti browniani sono finiti . La costruzione di \(\tilde{Z}_i\) è stata scelta con cura in modo che nel limite di \(N\) grande, \(B\) sia finito che diverso da zero.
  • I moti browniani hanno variazioni illimitate . Ciò significa che se il segno di tutti i gradienti negativi fosse cambiato in positivo, \(B\) raggiungerebbe l’infinito in un periodo di tempo arbitrariamente breve.
  • I moti browniani sono continui . Sebbene i moti browniani siano continui ovunque, non sono differenziabili da nessuna parte. Essenzialmente questo significa che un moto browniano ha una geometria frattale. Ciò ha importanti implicazioni per quanto riguarda la scelta dei metodi di calcolo quando i moti browniani devono essere manipolati.
  • I moti browniani soddisfano sia le proprietà di Markov che di Martingala. La distribuzione condizionale di \(B(t)\), data l’informazione fino a \(s<t\) dipende solo da \(B(s)\) e, data informazione fino a \(s<t\), l’aspettativa condizionale di \(B(t)\) è \(B(s)\).
  • I moti browniani sono fortemente distribuiti normalmente . Ciò significa che, per \(s<t\), \(s, t \in[0, T]\), \(B(t) – B(s)\) è normalmente distribuita con media zero e varianza \(ts\).

Da notare che l’ultima proprietà NON è la stessa di avere B(t) normalmente distribuito con media zero e varianza t – questa è una proprietà più debole.

I moti browniani sono una componente fondamentale nella costruzione di equazioni differenziali stocastiche , che alla fine consentiranno la derivazione della famosa equazione di Black-Scholes per i prezzi dei crediti contingenti.

Le proprietà di Markov e Martingale

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Per definire formalmente il concetto di moto browniano e utilizzarlo come base per un modello dei prezzi degli asset, è necessario definire le proprietà di Markov e di Martingale. Queste forniscono un’intuizione su come si comporterà il prezzo di un asset nel tempo.

La proprietà di Markov afferma essenzialmente che un processo stocastico “non ha memoria”, cioè la distribuzione di probabilità condizionata degli stati futuri del processo è indipendente da qualsiasi stato precedente, ad eccezione dello stato corrente. La proprietà di Martingale afferma che l’aspettativa futura di un processo stocastico è uguale al valore corrente, date tutte le informazioni note sugli eventi precedenti.

Entrambe queste proprietà sono estremamente importanti nella modellazione dei movimenti dei prezzi degli asset.

La proprietà di Markov

Un modo sensato per introdurre la proprietà di Markov è attraverso una sequenza di variabili casuali \(Z_i\), che può assumere uno dei due valori dell’insieme \(\{1, -1 \}\). Questo è noto come lancio di una moneta. Possiamo calcolare le aspettative di \(Z_i\):

\(\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Z_i) = 0, \mathbb{E}(Z_i^2) = 1, \mathbb{E}(Z_i Z_k) = 0 \end{eqnarray*}\)

Il punto chiave è che l’ aspettativa di \(Z_i\) non ha alcuna dipendenza da alcun valore precedente all’interno della sequenza . Prendiamo le somme parziali delle nostre variabili casuali all’interno del lancio della moneta, che indicheremo con \(S_i\):

\(\begin{eqnarray*} S_i = \sum^i_{k=1} Z_i \end{eqnarray*}\)

Possiamo ora calcolare le aspettative delle nostre somme parziali, utilizzando la linearità dell’operatore aspettativa:

\(\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(S_i) = 0, \mathbb{E}(S_i^2)= \mathbb{E}(Z_1^2 + 2 Z_1 Z_2 + …) = i \end{eqnarray*}\)

Vediamo che, ancora una volta, non c’è dipendenza dall’aspettativa di \(S_i\) con qualsiasi valore precedente all’interno della sequenza di somme parziali. Possiamo estenderlo per discutere l’ aspettativa condizionale . L’aspettativa condizionata è l’aspettativa di una variabile casuale rispetto a una certa distribuzione di probabilità condizionata. Quindi, possiamo chiedere che se \(i = 4\) (cioè eseguiamo quattro lanci di monete), cosa significa questo per l’aspettativa di \(S_5\)?

\(\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(S_5 | Z_1, Z_2, Z_3 , Z_4) = S_4 \end{eqnarray*}\)

Cioè, il valore atteso di \(S_i\) dipende solo dal valore precedente \(S_{i-1}\), non da alcun valore precedente a quello. Questo è noto come proprietà di Markov. In sostanza, non c’è memoria di eventi passati oltre il punto in cui si trova attualmente la nostra variabile all’interno della sequenza. Quasi tutti i modelli finanziari discussi in questi articoli possederanno la proprietà di Markov.

La proprietà di Martingale

Una proprietà aggiuntiva che vale per la nostra sequenza di somme parziali è la proprietà di Martingale. Questa proprietà afferma che l’aspettativa condizionale della sequenza di somme parziali, \(S_i\) è semplicemente il valore corrente:

\(\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(S_i | S_k, k<i) = S_k \end{eqnarray*}\)

In sostanza, la proprietà martingala garantisce che in un “gioco leale”, la conoscenza del passato non sarà di alcuna utilità per prevedere le vincite future.

Queste proprietà saranno di fondamentale importanza per la definizione del moto browniano, che verrà successivamente utilizzato come modello per un percorso dei prezzi degli asset.

Introduzione al Calcolo Stocastico

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Il calcolo stocastico è l’area della matematica che si occupa dei processi contenenti una componente stocastica e consente quindi la modellazione di sistemi casuali. Molti processi stocastici si basano su funzioni continue, ma in non differenziabili in nessun punto. Quindi si esclude le equazioni differenziali che richiedono l’uso di termini derivati, poiché non possono essere definiti su funzioni non uniformi. Invece, è necessaria una teoria dell’integrazione dove le equazioni integrali non necessitano della diretta definizione in termini derivativi. Nella finanza quantitativa, la teoria è nota come Ito Calculus .

L’uso principale del calcolo stocastico in finanza è attraverso la modellazione del movimento casuale del prezzo di un’attività nel modello di Black-Scholes. Il processo fisico del moto browniano (in particolare, un moto browniano geometrico ) viene utilizzato come modello dei prezzi degli asset, tramite il processo Weiner . Questo processo è rappresentato da un’equazione differenziale stocastica , che nonostante il suo nome, è in realtà un’equazione integrale.

Il modello binomiale fornisce un mezzo per derivare l’equazione di Black-Scholes. Uno strumento fondamentale di calcolo stocastico, noto come Lemma di Ito, permette di derivazione alternativa dell’equazione. Il Lemma di Ito è l’analogo stocastico della regola della catena nel calcolo ordinario. La differenza fondamentale tra il calcolo stocastico e il calcolo ordinario è che il calcolo stocastico consente alla derivata di avere una componente casuale determinata da un moto browniano. La derivata di una variabile casuale ha sia una componente deterministica che una componente casuale, che ha una distribuzione normale.

Negli articoli successivi utilizzeremo la teoria del calcolo stocastico per derivare la formula di Black-Scholes. Per questo dobbiamo presumere che il prezzo del nostro asset non sarà mai negativo. Un asset come un titolo azionario ha sempre questa proprietà. In questo caso un moto browniano standard non può essere utilizzato come modello qui, poiché esiste una probabilità diversa da zero che il prezzo diventi negativo. Viene invece utilizzato un moto browniano geometrico, dove il logaritmo del prezzo delle azioni ha un comportamento stocastico.

Si crea un’equazione differenziale stocastica per il movimento del prezzo di un asset e la si risolve per ricavare il percorso del prezzo dell’asset. Al fine di valutare il nostro credito contingente, noteremo che il prezzo del credito dipende dal prezzo dell’attività e che mediante una costruzione intelligente di un portafoglio di crediti e beni, elimineremo le componenti stocastiche mediante la cancellazione. Possiamo quindi finalmente utilizzare un argomento senza arbitraggio per valutare un’opzione call europea tramite l’equazione derivata di Black-Scholes.