Test di Johannsen

In questa sezione introduciamo i concetti matematici alla base dek test di Johansen, che permette di analizzare se due o più serie temporali possono formare una relazione di cointegrazione. Nel trading quantitativo ciò consente di formare un portafoglio di due o più titoli in una strategia di trading mean-reverting.

I dettagli teorici del test di Johansen richiedono un po’ di esperienza con le serie temporali multivariate. In particolare occorre considerare i Modelli Autoregressivi Vettoriali (VAR) – da non confondere con il Value at Risk (VaR) – che sono un’estensione multidimensionale dei Modelli Autoregressivi descritti in precedenza.

Un modello autoregressivo vettoriale generale è simile al modello AR(p) tranne per il fatto che ogni elemento è rappresentato da un vettore  di variabili e i coefficienti sono rappresentati con matrici. La forma generale del modello VAR(p) è data da:

\(\begin{eqnarray}{\bf x_t} = {\bf \mu} + A_1 {\bf x_{t-1}} + \ldots + A_p {\bf x_{t-p}} + {\bf w_t}\end{eqnarray}\)

Dove \({\bf \mu}\) è la funzione vettoriale delle intercette delle serie, \(A_i\) sono le matrici dei coefficienti per ogni lag e \({\bf w_t}\) è un termine di rumore gaussiano multivariato con media zero.
A questo punto possiamo formare un modello di correzione degli errori dei vettori (VECM) differenziando le serie:

\(\begin{eqnarray}\Delta {\bf x_t} = {\bf \mu} + A {\bf x_{t-1}} + \Gamma_1 \Delta {\bf x_{t-1}} + \ldots + \Gamma_p \Delta {\bf x_{t-p}} + {\bf w_t}\end{eqnarray}\)

dove \(\Delta {\bf x_t} := {\bf x_t} – {\bf x_{t-1}}\) è l’operatore differenziale, \(A\) è la matrice dei coefficienti per il primo  lag e \(\Gamma_i\) sono le matrici per ogni lag differenziato.

Il test verifica la presenza di non cointegrazione, che avviene quando la matrice A=0.

Il test di Johansen è più flessibile della procedura CADF descritta nell’articolo precedente e può verificare la presenza di più combinazioni lineari di serie temporali per la costruzione di portafogli stazionari. Per raggiungere questo scopo è necessario effettuare una autodecomposizione di A, cioè la scomposizioni in autovalori. Il range della matrice A è dato da r e il test di Johansen verifica in sequenza se questo range è uguale a zero, uguale a uno, fino a \(r=n-1\), dove n è il numero di serie temporali in esame.
L’ipotesi nulla di \(r=0\) significa che non c’è alcuna cointegrazione. Un grado \(r \gt 0\) implica una relazione di cointegrazione tra due o forse più serie temporali.

La scomposizione degli autovalori produce un insieme di autovettori. Le componenti dell’autovettore più grande hanno le proprietà per essere i candidati a formare i coefficienti di una combinazione lineare di serie temporali per produrre un portafoglio stazionario. Si noti come questo differisca dal test CADF (spesso noto come procedura di Engle-Granger) in cui è necessario accertare la combinazione lineare a priori tramite  la regressione lineare e minimi quadrati ordinari (OLS).

Nel test di Johansen i valori della combinazione lineare sono stimati come parte del test, ciò implica che il test ha una minore potenza statistica rispetto al CADF. È possibile imbattersi in situazioni in cui non ci sono prove sufficienti per rifiutare l’ipotesi nulla di mancata cointegrazione nonostante la CADF suggerisca diversamente. Vedremo di seguito questi casi.

Forse il modo migliore per comprendere il test di Johansen è applicarlo a dati finanziari sia simulati che storici.