Abbiamo già descritto la logica per il calcolo stocastico per quanto riguarda la finanza quantitativa. Sono inoltre state definite le proprietà di Markov e di Martingale. In entrambi gli articoli è stato affermato che il moto browniano avrebbe fornito un modello per il percorso del prezzo di un asset nel tempo. In questo articolo verrà definito formalmente il moto browniano e verrà spiegato il suo analogo matematico, il processo di Wiener. Verrà dimostrato che un movimento browniano standard è insufficiente per i movimenti dei prezzi degli asset e che è necessario un movimento browniano geometrico.

Nella discussione precedente sulle proprietà Markov e Martingala, è stato effettuato un esperimento discreto del lancio della moneta, con un numero arbitrario di fasi temporali. L’obiettivo attuale è lavorare verso una random walk a tempo continuo, che fornirà un modello più sofisticato per il prezzo degli asset, che è variabile nel tempo. Per ottenere ciò, sarà necessario aumentare il numero di fasi temporali. Tuttavia, l’aumento di questo numero deve avvenire in un modo specifico, in modo da evitare un risultato senza senso (infinito).

Si considera un intervallo di tempo reale continuo \([0, T]\), con \(T> 0\). In questo intervallo verranno effettuati \(N\) lanci di monete, ciascuno dei quali richiede un tempo \(T / N\) e quindi sono equidistanti. Allo stesso tempo, il risultato restituito da ogni lancio di moneta verrà modificato. La sequenza di variabili casuali discrete che rappresentano il lancio della moneta è \( Z_i \in \{- 1,1\}\). È possibile definire un’ulteriore sequenza di variabili casuali discrete, \(\tilde {Z} _i \in \{\sqrt{T / N}, – \sqrt{T / N} \} \). La definizione di una tale sequenza di DRV viene utilizzata per fornire una variazione quadratica molto specifica del lancio della moneta.

La variazione quadratica di una sequenza di DRV è definita semplicemente come la somma delle differenze al quadrato dei termini attuali e precedenti:

\(\begin{eqnarray*} \sum^i_{k=1}\left(S_k-S_{k-1}\right)^2 \end{eqnarray*}\)

Per \(Z_i\), la precedente sequenza di variabili casuali di lancio della moneta, la variazione quadratica è data da:

\(\begin{eqnarray*} \sum^i_{k=1}\left(S_k-S_{k-1}\right)^2 = i \end{eqnarray*}\)

Per \(\tilde {Z} _i\), la variazione quadratica delle somme parziali \(\tilde {S}_i\) è:

\(\begin{eqnarray*} \sum^N_{k=1}\left(\tilde{S}_k-\tilde{S}_{k-1}\right)^2 = N \times \left(\sqrt{\frac{T}{N}}\right)^2 = T \end{eqnarray*}\)

Quindi, per costruzione, la variazione quadratica del lancio modificato della moneta \(\tilde{Z}_i\) è semplicemente la durata totale di tutti i lanci, \(T\).

È importante notare che entrambe le proprietà di Markov e di Martingale vengono mantenute da \( \tilde{Z}_i\). Poiché \(N\rightarrow \infty\), la random walk del lancio della moneta non diverge. Se il valore dell’asset al tempo \(t\), con \(t\in[0, T]\), è dato da \(S(t)\), allora la sua aspettativa condizionale alla fine dell’intervallo, dato che \(S(0) = 0 \), è \(\mathbb{E}(S(T))=0\) con una varianza di \(\mathbb{E}(S(T)^2) = T\).

Sebbene i dettagli tecnici non saranno discussi, poiché il numero di passaggi \( N \) diventa infinito, si ottiene il processo di Wiener, più comunemente chiamato moto browniano standard , che sarà indicato con \(B (t)\). Formalmente, la definizione è data da:

Definizione (processo di Wiener / moto browniano standard)
Una sequenza di variabili casuali \(B(t)\) è un moto browniano se \(B(0) = 0\), e per tutti i \( t, s \) tali che \( s <t\), \(B(t) – B(s)\) è normalmente distribuito con varianza \(ts\)  e la distribuzione di \(B(t) – B(s)\) è indipendente da \(B(r)\) per \( r \leq s \) .